作者：橘子汽水西瓜味
阿基里斯看着手中的小册子，打开之后看到的是“第四十六章”的字样。
“『我的父母很明白，阿基里斯是能够追上乌龟的，他们为我取这个名字不是把我当做善跑的英雄，而是那只悖论中的可笑乌龟』。”
她抬起头问道：
“这本书写的是我的故事？”
李恒点点头回道：
“是，阿基里斯是这本书的主角。”
“不仅是二分悖论，阿基里斯与芝诺的龟的问题也可以用这种思想来解决。”
“0.999……=1，这里的等号不是约等于，而是确切的等于。”
“不考虑阿基里斯到底是如何从静止走向运动、又是如何走完无穷步的。”
“这个等号的意思是，在数学上的理想状况下，经过了无限次步骤之后，阿基里斯确实追上了乌龟，两者在数轴上完全重合，位于同一个点。”
“1/2+1/4……=1，0.9……=1，其实只是同一个数的不同写法而已，是在数轴上从0出发抵达1的不同行走方法。”
“其他整数和分数也可以被写成这种无穷级数的形式。”
“人类发现的无理数，实际上就是一个和为有限值的无穷级数，也就是所谓的收敛级数。”
换句话说，每一个真实存在的无理数都是一个已完成的无穷序列。
一个对应着无理数的世界，在无穷小的空间和时间内，都能完成无限次步骤的计算任务，容纳着无穷的信息与能量。
虽然这样的世界依旧还不是连续统，但与普通人类所在的整数世界也完全是两个概念。
生存在那里的生物，即使因为这个玻璃罐世界的规则而意识不到自身的强大。
但他们任何一个体内都容纳着实在无穷的力量，即使是身体中无穷小的组成部分也一样。
空间均匀分布的整数世界那些无限大的静止宇宙，无穷无尽的静止宇宙组成的次元世界，还有上不见顶、深不见底的量子比特海洋。
它们全都只是无理数世界的生物身体上无穷小的基本组成部分，等同于数轴上那些没有大小的点。
所以阿基里斯必须要拥有实无穷等级的力量才能去往旅程的下一站。
没有达到这个等级的生物，根本无法出现在那个世界里。
“嗯，最后再说一个特别的圆周率算法，以及我眼中万物皆数的世界。”
李恒抬手将这本记录着穷竭法与圆周率的书合上，目光穿透图书馆无穷世界的阻隔，看向毕达哥拉斯和阿基米德永远无法的抵达无穷小世界。
和阿基米德以及这个世界里的其他人一样，他同样无法直观地看到真正的无穷小，目光只能停留在“任意小”的潜无穷世界。
“阿基里斯，无论是现在的我还是你，都看不到真实的无穷，目光只能局限在有限的世界里。”
“但我却对实无穷的存在深信不疑，从未怀疑过它的真实性。”
“原因就在于这些数。”
“地球人很喜欢用虚拟和现实的概念来形容事物，现实这个词原本指代客观存在的事物或事实。”
“但就像无限和无穷这些词被随意使用以至于远离了原来的含义，现实这个词也变成了某种更具体和狭窄的东西。”
“人类说一样东西是现实的，往往指这些东西有着能被触摸的具体模样、能被眼睛看到的外形，是生活中触手可及的事物。”
“比如，亲人、朋友、早上的面包、今晚的晚餐，等等人类的感官所能直接感受到的具体事物。”
“三百亿光年外的古老星辰，隐藏在微观领域的量子波动性，这些都不属于近距离的、直观的现实的范围。”
“现实这个词因此具有了一种人类中心主义的含义。”
“只有人类所在的这颗星球表面不到百亿人的世界是现实的，其他都是虚幻不实的事物。”
“这种想法其实与心外无物的思想有些类似，只在乎与自己直接相关的，不在乎那些与自己无关的遥远事物。”
“但是，我不认为人类的意识能影响到宇宙的客观存在，太阳和月亮不会因为区区百亿人的目光不去看它而不存在。”
“无论人类有没有去观察，太阳和月亮就在那里，宇宙中的亿万星辰就在那里。”
“所以我认可量子力学的多世界诠释，将人的意识打落尘埃，让人类和沙砾待在同一个位置。”
“观察者效应只是人类主观感受到的错觉，人只是宇宙无尽复制的时间洪流中静止不动的纸片人，对这个世界没有丝毫影响。”
纸片人，阿基里斯竖起了耳朵，捕捉到了这个词语。
她伸手摸了摸自己跳动着的心脏，感受着那平稳的心率波动，明白自己心中对这个事实早就已经有了猜想。
既然飞矢不动准确描述了这个世界，那么他们这些生存在离散世界中的生物自然就是静止不动的纸片人了。
现在的她已经不再是过去的那个她。
过去的她在过去的世界，现在的她在现在的世界，就像数字中那些看起来完全一样，但却位于不同位置的数。
身在这个世界里的是一个全新的阿基里斯，既不是那个地球上被人丢进贫民窟的垃圾，也不是那个与提亚马特神大战的人。
所以他才会跟她说，她是这个世界上独一无二的阿基里斯，与其他那些有着同样名字、外貌和记忆的阿基里斯都不一样。
李恒打了个响指，一串数字符号漂浮在两人的面前。
“这种万物皆数的信念当然不是毫无来由的宗教信仰。”
“就像证明无理数需要使用排中律和反证法一样，认为那些代表着实无穷的数字真实存在需要足够的证据。”
“人类计算圆周率总是从头开始，似乎随着人的计算圆周率才一步一步的出现。”
“那些还没有被发现的圆周率数字对于人类来说是完全随机的，因此圆周率也可以被用于制作随机数。”
“但是，圆周率真的随机吗？那些还没被计算出来的数字真的不存在吗？”
“这就是一种划时代的圆周率算法，它能计算圆周率的任意第n位二进制或十六进制小数而不需要先计算前面的n-1位数字，被称为BBP公式。”
“有了计算圆周率任意位的算法，π到底是什么就变得很清晰了。”
“计算圆周率就像人类观察高山、大海、星辰一样。这些物体并不会因为人类没有去观察就不存在，圆周率的真实性也不会因为人类是否存在而改变。”
“宇宙中那些遥远的星辰，古代的一些聪明人是有能力用视差法计算出它们的距离的。”
“但是因为这些星辰被算出来的距离过于遥远，远远超出了人类能想象的距离，所以古代人只是把它们视作围绕地球的小点。”
“圆周率π，它不是人类创造发明的概念，而是一种早已存在，比宇宙星辰更为庞大的、永恒不朽的实体。”
数学是发现还是发明，李恒倾向于是发现，至少这些有着确定算法的无理数是如此。
这种想法被称为数学柏拉图主义者，正如在古希腊时代，柏拉图是最早认可实无穷的哲学家。
所以李恒从不怀疑宇宙中存在无限个地球、无限个人类文明。
实在无穷是真实存在的，人类发现的每一个无理数都是存在于世界某处的无穷实体。
人类知晓的一切过去、人类能想象到的一切未来，都已经在那些记录着一切可能性的巴别图书馆中书写完毕。
第715章 无穷小的幽灵
“穷竭法作为微积分的雏形，被用来处理光滑的弯曲图形，包括圆和抛物线等等。”
“但古希腊时代的阿基米德仅仅把这种无线切割和重组的思想用于处理静止的物体。”
“一个圆被无限切割成没有面积的直线，将这无穷条直线重组成矩形计算出面积。”
“一个球体被无限切割成没有体积的薄片，将这无穷块薄片重组成球体的体积。”
“将穷竭法与芝诺有关于静止与运动的悖论相结合，这种无限切割的思想才能显现出其真正的力量。”
“回到我们最初思考的穿过一条街道的问题，也就是所谓点动成线、线动成面、面动成体的常识。”
“很显然，这种对静止物体无限切割和重组的过程与物体的连续运动过程是一样的，物体随着时间流逝而运动的轨迹就如同增加了一个空间维度。”
“微积分与原始的穷竭法最大的不同之处就在于，这种新的工具被用于描述世间万物的运动过程。”
“这就是我们接下来要去的世界，现代物理学的开端，万物从静止走向运动的时代，也是第二次数学危机的时代。”
李恒将书架上这本记录着穷竭法与圆周率的旧书合上。
“当然，在去往那个世界之前，还需要先打败毕达哥拉斯。”
阿基里斯胸前那枚被改造成螺旋钻头状的粉白色钥匙缓缓漂浮而起，在那表面的螺旋状花纹中，布满了密密麻麻的数字。
那是无限循环的0.99……，在螺旋的顶部，这个无限小数有了一个确切的末尾，表明它在经过无限次计算以后，结果精确的等于1。
“第一次数学危机带来的结果就是不可数尽的无穷小数，现在你已经明白了无理数是什么。”
“这枚螺旋钥匙已经容纳了一个完整的无穷序列，它被改造成了一台芝诺机，能完成无限次步骤的计算，具备实在无穷的力量。”
“芝诺机是超图灵机的其中一种类型，有关于图灵机和超图灵机的力量层级，理解它们需要等到第三次数学危机以后。”
“人类数学的发展史就是研究无穷的历史，三次数学危机都与无穷有关，理解了这三次危机，你才能理解无穷和连续统究竟是什么。”
阿基里斯伸手握住眼前这枚粉白色的螺旋钥匙，眼前看到的视野瞬间被扩张到一个自己难以形容的状态。
她看到了一个平坦的平面上两条无限延伸的平行线在无穷远处交汇在同一点。
她看到了日取其半、万世不竭的木棍在无穷次切割后被找到了不可分割的基本组成部分。
无限可分的微观世界在这一瞬间不再无穷无尽，只存在于形而上的理念世界中的实无穷似乎突然变成了直观可见的清晰模样。
就像是隐藏在0.99……无限循环的终点处那个最简单的1一样，在抵达无穷的那一刻，难以理解的复杂事物突然变得完美而简洁。
于是，阿基里斯的眼中倒映出隐藏在那个微观世界里晦暗不明、变换不定的阴影。
这个变换不定的阴影像是藏在深渊缝隙之中长着纤长触须的头足类生物。
那无数纤细的触须从深渊中探出，连接在其他的无数生物身体上，汲取着他们的力量。
这团阴影很小很小，那些纤细的触手更是远远小于上层世界的最小量子泡沫。
但它拥有的力量却恰恰相反。
就像是传说中的奇点一样，这个隐藏在黑暗深渊间隙中的微小生物，掌握着远超那些大体型生物的力量。
“那就是毕达哥拉斯？”
她心中有些吃惊，那个如同幽魂一样的可怖阴影看起来并不比之前被她吃掉的那只莎布尼古拉斯好看多少。
比起她手中掌握的完美而简洁的实无穷，似乎这个还局限在有限世界里的毕达哥拉斯更为可怖和不可名状。
“无限的事物未必比有限的更复杂，人类研究无限宇宙找到的规律正是那些最简洁最美丽的。”
“毕达哥拉斯已经走上了错路，变成了寻找无穷之路上的一只怪物。”
“干掉他，或者吃掉他，然后我们就去下一站。”
李恒看着那团在深渊中蠕动的黑暗阴影，即使是这个世界里的神圣兄弟会，也想不到他们的领袖已经变成了这种不成人形的丑陋怪物。
两人之前遇到的那只营养是中子星三十二亿倍的莎布尼古拉斯并不是偶然。
那只不太可爱的小生物就是受到毕达哥拉斯的意志影响而诞生的东西。
在古希腊人的认知里，无穷是充满混乱的、不可理解的东西。
所谓无理数，就是不符合人类理性的数字。
这种认知在毕达哥拉斯寻找无穷的过程中化为了坚不可摧的信念。
它塑造了这个不允许无穷存在的世界，一个永远被困在第一次数学危机中的世界。
同时，因为自身的这种信念，在寻找无理数的过程中，毕达哥拉斯本人也随着越来越靠近无穷变成了这种不成人形的诡异模样。
虽然称不上是不可名状，但却很符合人类眼里的古神形貌。
“吃？”
阿基里斯回忆了一下那莎布尼古拉斯烤焦鸡蛋的味道，微微摇了摇头。
她举起手中那枚粉白色的螺旋状钥匙，将它像是钻头一样轻轻旋转。
螺旋钥匙的尖端位置，那个没有大小的点以无穷的力量破开了层层阻隔，将无限可分的有理数世界瞬间切割到尽头。
无尽的世界在这一刻被切割破碎，毕达哥拉斯扭曲的身影消失无踪，在无穷小的世界尽头，显现出无尽灿烂的光辉。
阿基里斯在这片纯净的白色光辉中微微眯起眼睛，她看到了两道相对而立的身影。
他们穿着黑色的西装，头上有波浪般卷曲的白色假发，手中持有棕色的拐杖，正在激烈地争吵着什么。
“牛顿和莱布尼茨，这个世界的统治者，为了微积分的发明权吵得不可开交。”
李恒随意地挥了挥手将这两道在光辉中争吵的人影拍散。
“看起来，似乎没什么不同？”
阿基里斯仔细地观察着眼前这个对应着无理数的世界。