作者：橘子汽水西瓜味
在这个变化过程中，不会有哪个多边形的面积真的等于圆的面积。
但是，对于任意给定的容差，总是能够找到一个内接正多边形，它的面积比给定的容差更接近圆的面积。
这种极限思想与最初欧多克索斯使用的穷竭法很相似。
无穷小量是以0为极限的变量，摒弃不可捉摸的实无穷，将无穷小量限定在非0的潜无穷范围内。
无穷小量不会真正抵达0，微积分处理的都是位于0和∞之间的有限量。
一个量减去它自身的一半或一半多，剩余的量再减去剩余的量的一半或一半多。
一直这样减下去，最终就得到一个小于任何事先给定量的量。
当使用“任意小”、“任意大”这类词进行表述时，就代表着不可抵达的潜无穷的观点。
“不过，柯西对于极限的定义依旧有不太完美的地方，尤其是趋近这个具有动态含义的词，暗示了时间和空间的概念。”
“在他之后，魏尔斯特拉斯重新给出极限的定义，也就是教科书上的ε—δ语言，不再使用趋近这种暗示了空间和时间的动态定义。”
“利用这个对极限的定义，可以很容易地证明芝诺二分悖论中那个无穷级数的和是1。”
“对了，还有很有名的魏尔斯特拉斯函数，处处连续但处处不可导。”
“这是第一个分形函数，具备自相似性，无限细分放大后依旧还是那布满了锯齿的模样。”
“总之，经过不少聪明人的努力，微积分总算有了一个严格的基础，摆脱了逻辑上的含糊和矛盾，走出了第二次数学危机。”
大略地提了提微积分的发展史，李恒将话题转到了重点上。
“微积分的完善建立在极限思想的基础上，明确了微积分在计算过程中使用的都是不为0的变量。”
“这让整个微积分的计算摆脱了麻烦的无穷大和无穷小，回归到了人类能处理的有限范围内。”
“实数域因此也是最大的阿基米德有序域，给出任何数，总能够挑选出一个整数大于该数，也就是不包括无穷大量和无穷小量。”
“实数的定义域（-∞，+∞），这个表示无穷的符号也就再次回归到了亚里士多德的潜无穷的概念，人类的智慧似乎再一次在无穷面前败退了。”
“但，潜无穷和实无穷的概念本就是相互交织的。”
“完善了理论基础的微积分摆脱了麻烦的实无穷，但总有人对真实的无穷的性质感到好奇。”
“毕竟微积分的基础就是连续性，而无理数就是数轴连续性的来源，没有实无穷，只剩下有理数的微积分也不可能存在。”
“微积分基础的严格化解决了很多问题，但也带来了很多新的问题。”
“最关键的就是，需要一个无理数的基本定义，这些无理数构成的数轴具备连续性。”
万物皆数，在直观的几何上从离散到连续的转变，就是从有理数到实数的转变。
魏尔斯特拉斯，戴德金，还有康托尔，这三人各自完成了对实数的基本定义。
其中容易理解的是戴德金的定义。
李恒面前再一次漂浮起那条用白色粉笔画成的数轴，只不过这一次上面的数字变成了各种奇奇怪怪的符号。
“点动成线，数轴上的无穷个点密密麻麻地填满了所有的空隙，没有丝毫的漏洞。”
“这是连续性最直观的一点，但从这种稠密性的视角去理解数轴的连续性已经宣告破产。”
“任意两个有理数之间都存在第三个有理数，但它们并不连续，每一个有理数还被密密麻麻的无理数所包围。”
“连续性显然不是根源于任何种类的致密性，用这种想法去思考数轴连续性的根源是一无所获的。”
“思考数轴连续性最好的方法是从数轴的有序性和相继性入手。”
“也就是在数轴上，每一个点的左边是一个更小的点，右边是一个更大的点。”
李恒抬起手掌，一记朴实无华的手刀砍在面前的白色数轴上，激荡起一阵金属碰撞般的火花，让整个世界都剧烈地颤动了起来。
天上那闪耀着无尽光无尽热的大火球也在这一刻微微暗淡了下去，争吵了不知多久的两个数学家将目光投向了此处。
他们感觉到，这个隐藏在有理数的缝隙中，无限可分的无穷小世界，真的被找到了那个不可分割的最小基本元素。
“从数轴的可分性去理解连续性，这就是我们两个一路上在做的事情。”
“切割整数，切割有理数，切到不可再分的那一点，找到能精确地将数轴分割成左右两部分的那个点所代表的数。”
“在这个数左边的所有数都小于这个数，在这个数右边的所有数都大于这个数。”
这就是戴德金分割。
如果直线上的所有点都落入两个集合，第一个集合中的所有点都位于第二个集合的所有点的左边。
那么就存在唯一的一个点把所有的点划分成两类，从而把直线分割成两部分。
于是，通过定义集合A和B的成员和边界，就可以准确定义这点的值，数轴上真正不可再分的基本元素。
用数轴上位于左侧和右侧的两个互斥集合来定义一个点的数值，这就是戴德金分割的思想。
在之前的旅程里，一旦离开了处处均匀的整数世界，两人就沦陷在了有理数和无理数的稠密性中。
他们不得不面对那些包含着无穷个元素、但却看起来同样都是无穷小的区间。
归根结底，这些看起来无穷小的有理数缝隙，依旧还不是一个没有大小的点。
虽然它看起来在数轴上占据的长度是零，但这里却藏着无数个无理数，构成了这片有牛顿、莱布尼茨、贝克莱主教的复杂世界。
“因为无理数的定义还不清晰，我们只知道无理数的某些实例，而不知道所有无理数的状况。”
“因此我们这里能用来作为分割标准的只有定义清晰的有理数。”
“一刀将数轴分割成两个部分，将会得到几个不同的结果。”
“第一，左边的A集合有最大元素，右边的B集合没有最小元素。”
“这就说明这一刀砍在了数轴上的某一个有理数p/q所代表的点上，并且这个点位于左集A之中。”
“如此数轴就被分成了两部分，比如（-∞，2】，（2，+∞）。”
“数轴上的每一个点都是唯一的，一个点在左集A中，就不可能在右集B中。”
“所以第二种情况，左集A没有最大元素，右集B有最小元素。”
“这两种情况都没有发现数轴的缝隙，因此这些分割就对应所有的有理数。”
“除此之外的第三种情况，左集A没有最大元素，右集B也没有最小元素。”
“这就是有理数之间的缝隙，想要填补这个缝隙就需要无理数，也就是我们现在所在的这个世界。”
“用有理数进行分割，如果分割不产生空隙，那么它就是一个有理数；如果产生空隙，那么它就是一个无理数。”
“由此就从有理数扩展到了实数。”
说到这里，李恒又抬手在阿基里斯的肩膀上贴上了第四个小便签“戴德金分割”。
前三张便签纸上分别写着“一一对应、基数”，“有序排列、序数”、“排中律”的字样。
“再次回到之前解释过的0.9……=1的问题，用戴德金分割就能证明这一结论。”
“0.9……是一个十进制无穷小数，它和1是数轴上同一个点代表的数的不同写法。”
“所有的无限小数已经填满了整条实数轴，再也没有其他数字的位置。”
“与戴德金分割对实数的定义等价，康托尔用无穷序列来定义数轴上的数。”
“一个有理数的无穷序列，如果任意两个相邻项的差越趋于0，那么这个有理数序列就是一个实数。”
“康托尔将这称为一个基本序列。”
“任何有理数序列的收敛等同于它可表示为一个无穷的十进制小数。”
“这种定义下的系统是封闭的，也就是说，用有理数定义的实数去组成实数序列，得到的极限仍是实数。”
“1.00……和0.99……，这两个不同的基本序列极限是一样的，定义了数轴上的同一个实数。”
“也正是因此，类似于ω这样不是0也不是后继序数的超穷序数被称为极限序数。”
“它们本就来自于表示无理数的基本序列，源于微积分中的极限，没有最后一位的概念。”
“嗯，前置基础总算是说的差不多了。”
李恒抬手打了个响指，两人来到了一间幽暗老旧的精神病院外面。
“有了无缝的实数轴和实数的基本定义，接下来就可以开始研究连续统了。”
第717章 可数无穷，不可数无穷
一间老旧的精神病院，隐藏在阴暗无光的山林之间，即使是天上熊熊燃烧的大火球绽放的无尽光和热都无法照亮这片阴暗的区域。
安静诡异的氛围，让这里就像是某个恐怖电影的拍摄现场。
两个外貌看起来跟强大无关的人就像是误入危险场所的贪玩小孩，属于在恐怖片开头就被献祭的那种。
“不过，换一个思路，在恐怖片里全身长满肌肉的强壮成年一般都是用来展示鬼怪不可抵抗的强大力量的垫子。”
“与此相反，反倒是孱弱的老人、天真可爱的小孩、被人欺凌的柔弱女子，这些常识中的弱者反而会具有抵制鬼怪的奇特能力。”
李恒仰头看向天空中熊熊燃烧的太阳，就算是牛顿和莱布尼茨的光芒，也在这间精神病院门前止步不前。
大门缓缓向着两侧打开，露出了门后隐藏的场景：
开阔的庭院，院子里种着一棵挂满了大红枣子的枣树，一个清澈的游泳池里放着一个漏气的黄色游泳圈，看起来有些像是之前阿基米德的澡盆。
很普通的场景，与在外面感受到的阴森恐怖氛围完全相反，只是一座很普通的建筑。
“虽然数学家、哲学家往往会被人和孤僻天才、精神异常的疯子人设联系在一起。但康托尔建立集合论和超穷数理论的大部分工作都是在他精神正常的时候完成的。”
“我们探究的当然不是人生晚期住进精神病院里的康托尔，而是他发现超穷数的思想。”
李恒带着阿基里斯走进了这间空无一人的精神病院，目光投向那棵长满了红色枣子的枣树。
长满触手的头足类生物，全身血肉模糊、满是眼睛和嘴巴的可怕生物，有着超凡灵异力量、能隐形穿墙瞬移的鬼怪幽灵。
说到底，这些令人恐惧的要素都是以地球人的视角而产生的。
无垠的宇宙中将这些恐惧要素视为美丽、高贵、可爱形象的智慧文明到处都是，莎布尼古拉斯的形象在很多文明中都是“高贵迷人的女王”。
比起这种外貌上的怪异形象，他更喜欢克系小说中对尤格索托斯的描绘。
令人恐惧的不是怪异丑陋的外表，而是超越人类智慧边界的知识。
用理性和逻辑去探寻的事物，最终却发现以凡人有限的理性永远无法理解它们。
所有人类——这个词指的是广义上的人类。
不仅是狭义上的地球智人，还包括远古的尼安德特人、能人，以及千百万年以后不知是否存在的未来人类。
宇宙中其他星球上的碳基智慧生命、硅基智慧生命。
还有那些生存在空间不均匀的非整数世界中的修仙文明、魔法文明、武道文明之类乱七八糟的文明。
不论是银河系里的地球人，还是在这个无穷小的无理数世界里的牛顿与莱布尼茨两大天尊。
所有人类眼中都同样不可理解、不可言及的神秘未知之物。
“自然数，整数，有理数，无理数，实数。”
“从苏美尔文明的楔形文字开始，一直到几千年后完整的实数定义，无缝连续的直线终于在代数上有了与之对应之物。”
“理所当然的，离散和连续之间的差异，就会让人联想到无穷之间也有差异。”
“自然数、整数、有理数，它们的数量都是无限，但它们都是离散的，充满了漏洞和空隙。”
“实数却是连续的，那么两者之间的本质差别是否就是因为实数比其他数的数量更多？”
“也就是说，存在一个比人类常识中的无穷更大的无穷。”
李恒伸手从枣树上取下一颗大红枣，塞到了阿基里斯的嘴边。
“啊呜。”
一口将这颗大红枣吞下，阿基里斯品味着那甜滋滋的味道，感受到有丝丝缕缕的信息从枣子里涌了出来。
她现在终于有些理解李恒所谓的吃东西是什么意思了。
“知识就是食物，原来是这样的感觉。”
红枣里面装着的信息是伽利略对于无穷的理解，使用的方法正是人类对数的认知的源头，最基本的一一对应思想。
利用一一对应的方法，即使没有办法确切的数完集合中的每一个元素，也能比较不同集合元素的数量。
这一点就像是在舞会上一一配对跳舞的男性和女性，每个人都已经找到了自己的舞伴。
虽然参加舞会的人数可能有一百亿甚至是无穷多，但只要知道每个人都已经有了自己对应的舞伴，没有孤零零留在一边的落单者，那就说明参加舞会的男女数量是一样多的。
伽利略用一一对应的方法操作的是自然数和完全平方数：