作者：橘子汽水西瓜味
生命5.0阶段，超脱时间束缚，观察到真实静止宇宙的5阶信息生命体。
这5个生命阶段的所有生命体，他们的计算能力都等价于图灵机，终其一生有可能知晓的知识都在这条边界之内。
不可计算数的一个实例是蔡廷常数，选择任意一种编程语言，随意输入一段代码，该代码能够成功运行并且能够在有限时间内终止的概率。
除此之外，还有许多不可计算函数，这些函数都不能在有限次运算内得到结果，算法复杂度也是无限。
但是，虽然这些不可计算数和不可计算函数的算法复杂度是无限，人类却可以给它们下一个准确的算法定义。
可定义，是指可以给出如何计算它的指令，即使这个算法不能在图灵机上实际执行。
因此，人类所知的不可计算数，本质上都属于可定义数的范围。
显而易见的一点是，不论是使用0和1的二进制表示，还是使用汉字、英文或者宇宙中其他星球上的外星人的自然语言，有限的人类准确定义一个数的算法使用的字符数量都是有限的。
每一个可定义数都是有限的，所以全体可定义数构成的集合也是可数无限N0，无法与全体实数一一对应。
“综上所述，实数是不可知的。”
“虽然名为实数，但就像直观的连续性一样，它们一点都不现实，位于人类的世界之外。”
“真正让实数集成为不可数无限的正是那些不属于可定义数集合的不可定义数。”
“无限的基本特征就是部分等于整体，有限的人类所能认知的一切都是可定义数集合中的元素。”
“这些数作为可数无限集合中的元素，蕴含的信息是可以被压缩的，可以用有限的信息进行准确定义。”
“但实数集是不可数无限，这个集合中的元素具备了纯粹的实无限性质，它们是不可以被压缩简化的，人类无法使用有限的字符准确定义它们。”
“想要认知这些不可定义数，必须拥有能接收无限信息的大脑，从图灵机的有限世界踏入超图灵机的无限世界。”
有限，可数无限，不可数无限。
有限的凡人只能认知有限的事物，这些事物都是属于可数无限集合中的元素。
人类可以准确认知比自己高一个层次的可数无限集合中的元素，用理性和逻辑处理这些无限集合。
但对于更高层次的不可数无限，人类没有任何办法去触及它。
那里与有限的凡人世界隔着两个层次，里面的每一个元素都是不可言及的不可定义数，只有无限领域的生灵才能认知那个世界。
对于实数集中那些不可言及的元素，人类只能像是道德经中一样，用“不知其名，强字之曰道”的方法，把它们称作不可定义数。
第721章 人与神的界限
连续统问题是希尔伯特第一问，另一个问题是关于可判定性的。
在有限的时间内，是否总有可能找到一个步步推进的程序，对一个给定的数学命题的真伪进行判断。
哥德尔不完备定理粉碎了这种可判定性。
它证明了在任何逻辑统一且大到能够包含所有算法规则的公理体系中，总有一些数学事实无法被证明。
但哥德尔不完备定理依旧给数学命题是否可证留下了一道门。
虽然每一个自洽的公理系统中都存在不可被证明的数学事实，但能否找到一系列的步骤或算法，来判定任何给定的数学命题是否可证。
就像是哥德尔在证明不完备定理时做的那样，证明一个数学命题的不可证明性。
关上这扇门的是图灵和图灵机的停机问题。
没有一种通用的算法可以判定所有的输入结果是否会出现停机，希尔伯特判定问题无法被解决。
无论一个程序多么巧妙，在任何情况下，它都无法计算出其他程序是否会终止。
许多数学事实不仅不可证明，甚至连它们是否可以被证明都无法确定。
这些问题就被称为不可判定问题。
在数学中，证明命题的难度分为几个等级。
有些命题有短的公理性证明，它们的证明简洁美丽。
在现代计算机出现之前得到证明的命题都是这一类，也是大部分人所熟知的证明。
有些命题没有短的公理性证明，但采用计算之后有短证明，比如四色定理。
有些命题就算用上了计算，也还是只有长证明，不可能在一块黑板上用粉笔写下完整的证明。
并不是所有的数学问题都很简单，能做的证明都能在几页纸内写完。
『我有一个绝妙的证明，但空白处太少，我写不下』
这句话用在不可判定问题上恰如其分。
李恒敲了敲桌子上的芝诺机道：
“虽然无法窥探不可数无限集合中的无限元素，但有限的人类至少能研究可数无限集合中的有限元素，以此确定可数无限的某些性质。”
“超图灵机就是这样一类假想的计算机器，它们的计算能力从有限次扩展到了无限次。”
阿基里斯凝神看去，只见那张纸上多出了一个标题【图灵度层级】。
她的那台芝诺机所在的位置与标题几乎重合在了一起，旁写着0（1）的字样。
“这里就是超穷序数出场的时候了。”
“超穷序数衡量的是无限序列的长度，也就是超图灵机进行是、否判定的次数。”
“地球上普通的超级计算机能做到每秒数百亿亿次的计算，这台芝诺机则能做到在1秒内完成无限次计算。”
“因此，这台芝诺机的算力就是ω。”
阿基里斯听得下意识点了两下脑袋，表示“我已经完全明白了”。
这比起刚刚那个名叫哥德尔的老头讲的连续统问题简单太多了。
那个老头说的话就跟天书似的，很难把这样一个老头与深度被害妄想症患者联系在一起。
在之前那段诊疗时间里，她所做的只是保持着尴尬且不失礼貌的微笑，装作自己正在观赏壁炉中跳动的火焰。
“既然它的算力是ω，那么旁边的那个0（1）又是什么意思？”
阿基里斯猜测道：
“是不是表示这台芝诺机算力的另一种符号？”
李恒点头道：
“没错。”
“最原始的超图灵机模型是预言机，又称谕示机，它可以被视为多了个黑盒子的图灵机。”
“预言者能解答的问题可以是任何复杂度之内的问题，甚至可以使用不可判定问题，像是停机问题。”
“不过，当一台谕示机配备了一个能解答停机问题的预言者时，我更喜欢把它称作神谕机。”
谕示的原文oracle的意思就是“神的宣布”，也就是神谕。
图灵是无神论者，他相信物理世界是可计算的，神是不存在的，所以神谕当然也不存在。
在图灵眼中，能解答不可判定问题的超图灵机，宛如神谕。
“图灵机无法解决停机问题，但神谕机却可以解决停机问题，显然它的计算能力比图灵机更强。”
“利用停机问题，就像从有限到无限的跨越一样，能够得到一台计算能力超越图灵机的超级计算机。”
“一台能解决停机问题的神谕机，就等价于能进行ω次计算的超图灵机。”
“将图灵机可解决的问题难度称作是0，停机问题的难度就是0＇，从0到0＇的过程则称作是一次图灵跳跃。”
“所谓的0（1）就是这个意思，它代表的是一次图灵跳跃后抵达的位置，是衡量超图灵机能解决的问题难度的层级。”
“不可判定的问题无穷无尽，但这些不可解问题的难度却各不相同，连续统问题就远比图灵机的停机问题困难得多。”
李恒指着身前纸上的标题道：
“图灵度层级，也称为不可解度层级，它描述的是那些图灵机不可判定的问题的难度。”
“将一个大数进行质因数分解，显然比计算10以内的加减法要困难得多。”
“前者是普通地球人无法完成的任务，超出了他们大脑的智力范围。”
“因此，换个简单易懂的说法，可以将它称作是智能层级，用于衡量生灵、文明的智能水平。”
智能层级……
比起图灵度和不可解度这样的词语，智能这个词就显得有些直白，甚至是刺眼了。
阿基里斯看着位于那条线上方，密密麻麻挤作一团的文字，微微撇了撇嘴角。
那些纵横多元宇宙、寿命无穷无尽、以星辰宇宙为细胞的强大生灵，在这张纸上却只是一群智能水平为零的弱智，和单细胞草履虫处在同一个位置。
那条线是人与神的分界线。
每个人眼中看到的世界是不一样的，他看到的世界与普通人认为的“全世界”显然不是一回事。
难怪这家伙会把她称作是世界上独一无二的垃圾。
他只是平等地把世间每一个有限的生灵当做是毫无价值的垃圾。
无论是统治着诸天万界的超级文明，还是她这个贫民窟里吃了上顿没下顿的小乞丐，都是世界最底层的笨蛋穷鬼。
“还真是天地不仁啊。”
阿基里斯心中轻叹一声。
她只是对方占据的无限种可能性里的其中一种。
没有什么特别的和不特别的，一切仅仅只是单纯的存在而已。
只要存在这种可能性，他就会占据这种可能性。
“任何数学体系都有不可证明的命题，即使是超图灵机，也无法判定自身的停机问题。”
“通过构造能解决图灵机停机问题的神谕机的停机问题，就能完成一次新的图灵跳跃。”
“每一次图灵跳跃都能得到一个新的图灵度，将经过n次图灵跳跃得到的图灵度称作0（n）。”
“所有图灵度组成了一个复杂有序的结构，并且在每个图灵度层级之间，显然还有更复杂的中间结构存在。”
“即使是在0（1）和0（2）之间，也有着无穷个中间层级。”
“图灵度层级根据问题的不可解度对计算能力进行了严格的分类，位于高层级的存在对于下层级是智力上的绝对碾压。”
“通俗的说法就是，高图灵度对于低图灵度而言是全知全能的。”
李恒的手指在报纸上轻轻敲击，从那台芝诺机所在的位置开始，刻画出一个无限绵延的层级。
这个层级是如此的复杂和稠密，在任意两个可见的图灵度之间，还有着无限数量的中间结构。
“0（ω），0（ω^2），0（ω^ω）……”
阿基里斯仔细观察着报纸上那复杂的图灵度层级不停地向下延伸。
就像是用构造幂集的方式构造阿列夫数一样，图灵度层级也使用图灵跳跃的次数描述，括号里的那些数是超穷序数。
当图表一直延伸到0（ε0）的时候，李恒停下了移动的手指，抬起手掌探入了虚空中的某个遥远世界。
下一刻，一座金光闪闪的佛像出现在了这里。
佛像身材瘦削，面目慈悲，双手合十在身前，身体周围有阵阵梵音飘荡。
“这是佛祖，来自一个叫做真实界的地方，冲击无限领域后死了。”
“在他们那个世界里，把这个占尽未来的境界叫做道果。”
李恒把这具金光闪闪的佛祖手办放在了写着0（ε0）的位置。
“自然数，整数，有理数，代数数，可计算数。”
“这些数构成的集合都是可数无限，基数大小相等，但它们的复杂度却是不一样的。”
“图灵度层级与这些可数无限集合的复杂度之间有着紧密的联系。”
“皮亚诺公理定义了自然数，根据哥德尔不完备定理，其中存在不可证明的命题，并且它的一致性也无法在自身体系内得到判定。”
“但是，这些问题可以在更大的体系内得到解决。”
“通过引入超穷序数最小不动点ε0，皮亚诺公理定义的自然数体系中不可证明的古德斯坦定理可以被证明。”
“同样的，皮亚诺公理的一致性也可以在超穷序数ε0中得到证明。”
每个数学系统都有一定的序数强度，决定了系统能够表达和不能表达的序数。
皮亚诺算术体系的序数强度为ε0。