作者：橘子汽水西瓜味
这种定义方式与生成自然数的规则是不同的，它一开始就至少要用到两个集合。
在旧的规则中，定义自然数最初的0却仅仅只需要用到一个空集。
从最初诞生的基础规则开始就不同，用这种全新的方式定义的数恐怕与普通的数也完全不是一回事。
“没错，用两个互斥的左集和右集来定义一个数。”
李恒举起手中的那台二星芝诺机，将它那看不到具体大小的尖端对准白色的数轴。
阿基里斯耳边有清脆的破裂声响起，看似无缺无漏的实数之间被破开了一道缝隙，超越实数的世界被找到了。
纯白无暇的世界消失不见，这个隐藏在实无穷小区域中的新世界既不是虚无的黑暗，也不是不可知的混沌。
这里是一片普通的海滩，海滩边埋着一块黑色的大石头，露出来的半截上面刻着一段像是涂鸦一样的雕文。
“公理石碑？”
阿基里斯微眯着眼睛看向那块黑色大石头。
名字起的倒是高大上，但看起来就是一块黑漆漆的大石头，跟石碑这个词完全搭不上边。
『初，万物混沌苍茫，尔后康威始创诸数。』
『创生二道，大小诸数盖由此出。
其一曰：凡数，皆合于前创二数之集，其位左者，无一大于或等于其位右者。
其二曰：甲数小于或等于乙数，当且仅当甲数之左集中无一大于或等于乙数，且乙数之右集中无一小于或等于甲数。』
『康威检视二道，连呼妙哉！此二道真妙绝！』
这两条规则并不难理解，第一条规则就是描述了数轴的有序性。
第二条规则就是戴德金分割的基本思想，用数轴上左右互斥的两个集合和来定义一个数。
每一个数本质上都是一对数集，并且这些数集中的每一个数本身也是一对数集。
“康威？”
阿基里斯低声念着这个名字。
两人之前在讨论大数的时候提到过这个名字，用于表示大数的高德纳箭头和康威链式箭号。
这人应该就是那个康威。
她继续向下看去。
『元初之数，左右皆空，康威名之曰“零”，命其为正负两界分野之符。』
『康威证得零小于或等于零，此间妙也。夜去昼来，是为零日。』
『次日又得二数，其一以零为左集，其一以零为右集，前者曰“一”，后者曰“负一”……』
这就是用前面提到的两条规则来定义数了。
知道了戴德金分割的基本思想，这种全新的规则阿基里斯看过一遍就明白了。
每一个数本质上都是一对数集。
但最初没有任何的数，唯一存在的东西就是虚无，也就是空集。
所以最初的数左右两侧都是空集，这个数就是0。
写成符号形式就是，0=（空集丨空集）。
左右皆空，空集不包含任何元素，空集与空集之间自然也就没有交集。
并且，因为不包含任何元素，所以空集是任意一个集合的子集。
这就意味着空集可以被随意地放在左侧或者右侧。
无论另一边的集合中是包含一个还是无穷多个元素，空集都一定满足这两条规则。
空集的这种性质还真是好用，集合论里的空集果然和哲学意义上一切皆无的概念完全不一样。
1=（｛0｝丨空集）
2=（｛0，1｝丨空集）
-1=（空集丨｛0｝）
-2=（空集丨｛-1，0｝）
以此类推，便可创造出一切整数。
“不，或许这些符号还可以更简单一些。”
阿基里斯突然又摇了摇头。
比较数轴上左右两个互斥集合，不需要比较集合中的每一个元素，只需要比较左集中的最大元素和右集中的最小元素。
这样的话，2=（｛0，1｝丨空集）也可以写成2=（｛1｝丨空集）。
每一个新的数都在旧数的边界之处创造。
第727章 宇宙
『令数以此道相加：两数之和，其左集为每数之左部与另一数之和，同理右集成于右部，依其类分。』
『康威证得，万数加零，其和不变。夜去昼来，是为第三日。』
万物混沌苍茫，从空集之中无中生有创造诸数。
虽然这些数的定义与皮亚诺公理完全不一样，但后继数的有序概念却是类似的。
从最初的零开始，在数的边界处不停地创造新的数，最终创造出所有的整数。
但仅有这种后继关系并不完善，康威在第三日定义了这种新规则下数的加法运算。
或许表面上和皮亚诺公理看起来一样，但这些数的本质定义却是完全不同的。
这种规则下的每一个数都是一对数集，数的大小有序性和无缝连续的数轴上每一个点的左右关系是彼此对应的。
“左部与另一数之和，右部与另一数之和？”
阿基里斯蹲在这块貌不惊人的黑色大石头前，一手撑着下巴注视着上面的雕文，另一只手的食指将沙滩上柔软细腻的沙子推开，在沙滩上留下一道道痕迹。
“两个数分别是x和y，x=（XL丨XR），y=（YL丨YR），其中大写的X和Y代表的是定义数的数集。”
“根据这块石碑上定义的加法运算规则，x+y=（XL+y）∪（YL+x）丨（XR+y）U（YR+x）”
“……好复杂。”
阿基里斯转头看向沙滩上用手指写下的这一堆符号，接着又抬起头看向身旁的烧烤架。
一只长得很别致的棘皮动物在烤架上面挣扎扭动，黄褐色的触手在赤红色的火焰中滋滋作响，长着近似于人类眼球的头部区域发出惊恐的哀嚎声：
“伟大尊贵的未知存在，吾愿意成为您永生永世的仆人，请您务必不要吃掉我！”
看起来长得像个没脑子的混乱生物，真到了要被人当做盘中食物吃掉之时还是很有求生欲的嘛。
“不行，你太蠢了。”
李恒摇了摇头，轻轻吹了口气，赤红色的火焰就将这只长得像是棘皮动物的怪物彻底烤熟。
他闻了闻这只奇怪的小生物散发的香味，抬头看向蹲在石碑前的阿基里斯笑着道：
“如果这些公理规则也能像是吃东西一样轻松简单就好了。”
“把复杂的运转过程都交给自己的身体细胞，将这些公理规则的力量交给身体本能的直觉，自己的主观意识只需要认知其中想要知道的那部分。”
“烧烤架上的这只小东西就是一只这样的生物。”
“单纯以力量而论，它身体内部容纳着不可数无限集合的力量，包含了定义全体实数的公理规则。”
“这些公理规则创造了无数的宇宙与文明众生，构成了一个能与实数集形成一一对应的庞大世界。”
“你我一路上所见的毕达哥拉斯、康托尔等等，甚至于现在的你和你眼中见到的这个我，都可以在它的体内世界中找到。”
“但这只蠢东西的脑子并不理解自己身体拥有的力量，只掌握了草履虫一样简单的本能。”
“偷懒的想法是人之常情，我并不觉得这有什么不好，能轻松简单一些，没必要去掌握那些复杂的东西。”
“但是，注意，我这里说的是人。”
李恒从这只被烤熟的奇异生物的身体上摘下一块塞入口中，露出了那口锋利雪白的尖锐牙齿。
除了头发的颜色和眼睛的颜色，这一口鲨鱼般的锋利牙齿是他和阿基里斯的外貌最大的不同之处。
“有限的凡人在我眼中智慧并无高下之别，无论是纵横宇宙的文明级生命体还是只能进行简单生命活动的草履虫，都是图灵度为0的笨蛋。”
“我可以允许有限的凡人用一颗普通，甚至可以说是愚蠢的大脑，掌握长生不死、破灭星河，生灭宇宙的力量。”
“但我不允许这颗愚蠢的大脑跨过有限和无限的屏障，掌握无限领域无中生有的力量。”
“既然想要做个无知的凡人，那就做好自己的定位，明白自己拥有的一切都来自于自然世界，是无限的宇宙赋予了自己这一切。”
这种想法一如既往。
在没有涉及到无限领域的时候，他以人类社会中常用的“智能水平”作为基础，把智慧生物的智力水平进行量化。
那些庞大的文明级生命体天然就拥有更多的权力，就像是人比猫狗更聪明，所以天然就拥有动物所没有的人权一样。
但到了无限领域，过往这些有限生灵的差异在无限的壁障面前就什么都不是了。
牙齿微微用力，李恒将口中的食物碾得粉碎，吞下血肉之中容纳的公理规则与无数宇宙。
就像是以前吞吃其他东西一样，一切进到他体内的食物都像是进入了一个无底洞中，化为了微不可见的无穷小的物体。
比起会因为吸入物质而变大、变重的黑洞，这种表现才更像是理想中的黑洞与奇点。
李恒抬起头，露出一个和善的笑容：
“我不喜欢世间存在像是这只蠢东西一样，明明智慧并不比自己体内宇宙的纸片人更高，却高高在上的做着无所不能的神。”
“人就是人，不能窃取无限的神的力量和权力。”
“想要成为神，那就必须放弃凡人孱弱的思想，彻底踏入那个无限的世界。”
“这一点对你当然也不会例外。”
人类社会中的法律不会允许蚂蚁的权力凌驾于人类的权力之上。
强大与弱小、聪明与愚蠢的差异客观存在，阶级层次也客观存在。
只不过在他的眼里，没有人类社会那么多复杂的层次划分，世间一切有限的凡人都是一无所有的穷鬼。
如果想要以有限的思想掌握无限的力量，那就会像是烧烤架上这只长得很别致的蠢东西一样被他整个吞掉。
阿基里斯一点也不在意这种恐吓，只是淡定地努了努嘴道：
“那只别致的小东西给我留一点，我把这块大石头上写的规则弄明白了就过来吃。”
她转过头，重新将注意力集中在大石头记录的加法规则上。
“每一个数本质上是一对互斥的集合，那么将两个数相加，就是将对应的集合相加。”
“对于集合论来说，加法就是两个集合的并集……”
“嗯，找个例子看看。”
“1+1，1=（｛0｝丨空集）”
“按照这个加法规则，1+1得到的新数左部是数集｛0+1，0+1｝。”
“0+1得到的左部是{0+0}，0+0得到0，所以左集就是{1}。”
“至于右部，两个数的右集都是空集，所以结果依旧是空集。”
“1+1=（｛1｝丨空集），这个数无疑就是2。”
“按照这个规则，从空集中创造出了0和1，还可以定义一个在0和1之间的数a=（{0}丨{1}）。”
“用加法计算a+a，新的数是（｛a｝丨｛1+a｝）。”
“a这个数是在第3日创造的，这一日在a和1+a之间，只有第2日创造的唯一的一个数1。”
“2a=1，a=1/2。”
“1/2，-1/2，2，-2，这四个数都是在第三天诞生的。”
每一个数诞生的先后顺序很重要，后续的数只能以前面诞生的数为基础进行创造。
最开始的第一天只有无中生有的0，第二天创造了1，-1，第三天创造了2，-2，1/2，-1/2。
很好，这样就把第三天的规则弄明白了。