作者：多学一点
可今天，许衡没有停顿！
翻页之后，就是解答。
第五题（也就是今天的第二题）：
求所有的函数f:Z→Z使得对任意满足a+b+c=0的整数a,b,c恒有f(a)2+f(b)2+f(c)2=2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a)。
在女考官眼中，许衡连翻页这个动作，都是那样的行云流水。
翻页！
提笔！
开始答题。
一气呵成！
整个过程，许衡沉稳无比，仿佛一切胸有成竹！
当然……
他，就是胸有成竹！
在许衡看来，今天的题目和昨天的相差无几，甚至比昨天的还简单一些。
所以他在还没正式考试的前十分钟，已经看完了这两道题！
也正是因为对这两道题了解了，还有就是为了不让他们再那么大惊小怪，许衡选择了放慢速度。
慢慢地写字！
慢慢的答题！
这在女考官眼中，许衡尽显东方人的儒雅之风！
写的每一个字，都是享受！
都是一场神圣的视觉盛宴，令人神往。
女考官忍不住凑到另外两位考官身边，用胳膊肘碰了碰他们一下。
他们才注意到，整个考场中，唯有许衡，挺直腰杆，如一把锋利的宝剑，立于天地之间。
在看其他五位，要么弓着腰，抓耳挠腮，要么眉头紧锁，精神萎靡。
废话！
昨天的打击，心态崩了，再加上昨晚没睡好，再加上今天的题目依旧很绕人，他们哪有心情表现得那么淡定，表现得游刃有余？
唯独许衡！
许衡有条不紊。
令a=b=c=0可得3f(0)2=6f(0)2,这说明f(0)=0。现在我们令b=a,c=0可得到f(a)2+f(a)2=2f(a)f(a)即(f(a)f(a))2,于是f(a)=f(a),即f(n)为偶函数。
假设对某个整数a使得f(a)=0,则对任意整数b我们有a+b+(ab)=0,因此f(a)2+f(b)2+f(a+b)2=2f(b)f(a+b),这等价于(f(b)f(a+b))2=0,即f(a+b)=f(b)。
因此对某个整数a使得f(a)=0时,f是一个以a为周期的函数。
……
现在假设f(2)=4f(1)并且f(1)≠0。
如果对任意的整数n都有f(n)=n2*f(1)成立,那么……
……
综上所述,函数方程的解为:f(x)=cx2,其中c∈Z;f(x)={0,c,2∣n,2n其中c∈Z。
以及……
三位考官都沉浸在许衡的答题过程中。
许衡就腰背挺直地坐在座位上，一笔一划，十分认真。
不论从哪个角度看，他们都觉得很享受。
完美的字迹！
完美的气质！
完美的颜值！
咳咳……
这位女考官，一时间沉浸在许衡浑然天成的帅气当中，无法自拔。
此时此刻，他们都忽略了。
许衡在昨晚这两道题的时候，也不过是用了十分钟的时间！
的确！
这次许衡一笔一划，足够慢，也足够消磨时间了！
但是奈何不住这两道题那么简单啊！
终于，前两天搞定。
许衡松了一口气，悠哉悠哉地转起了笔。
而其他五位，一个个眉头深锁，还在扣着第一题！
三位考官这时候才意识到……
许衡即便是写得那么慢，也才只用了十分钟的时间！
偶买噶！！！
起初，他们对于许衡的态度是质疑的！
可现在看来，他们被打脸了！
许衡的操作比上一次还厉害，有过之而无不及！
什么看一题，就能给出答案了？！
我们差点就信了！
这明明就是两道题一起看的！
一起看完，一道一道地给出了准确答案！
“．」嘶……｀ ～！”
忍不住发出声音。
而许衡，充耳不闻，看着最后一题。
设f是定义在整数集合取值为正整数的函数，已知对于任意两个整数m≠n，f（m-n）|f（m）-f（n）。求证：对于任意整数m，n，f（m）≤f（n）→f（m）|f（n）。
看题目，10秒钟！
思考，30秒钟！
许衡再次动笔。
三位考官看着真切，一脸的期待。
他们期待着许衡的动笔，期待许衡再次给他们展示他是如何答题的！
他们完全从考官的身份切换到了粉丝的身份！
他们看着许衡，有种崇拜仰慕的感情在。
许衡作答：
证明：由已知f（m-0）|f（m）-f（0），因此f（m）|f（0）对任意整数m都成立。
由于f（0—n）|f（0）-f（n），因此f（-n）|f（n），n→-n可得f（n）|f（-n），因此对于任意整数n，都有f（-n）=F（n）。
若结论不成立，则存在m，n……
……
综上所述，结论成立。
例如f（odd）=a，f（even）=ab，f（0）=abc。
写着写着，许衡就给出了答案。
而且还是正确答案。
“额……”
(的得好)
许衡愣了一下。
他是真的愣了一下，他没想到这最后一道题那么简单！
太简单了！
不管别人是怎么认为的，反正许衡觉得，这道题，还不如前面那两道有意思！
哎……
这就是所谓的矮子中间拔高的吧！
但是和昨天的整体比起来，相差太大。
许衡有种意犹未尽的感觉。
毕竟全部解决完，这些题，半个小时都没有啊！
许衡本来还想着写慢点，再慢点的！
可再慢，也架不住你们题目简单啊！
算了……
再多写一点吧！
许衡又继续。
若f（n）|f（kn），则由于f（n）|f（（k+1）n）-f（kn），故也有f（n）|f（（k+1）n），同样由于f（n）|f（kn）……
……
许衡写着，三个考官看着。
他们不认识汉字，但这上面的字母，还有数学符号，他们是认识的！
他们疑惑，怎么许衡写的东西，有点绕回去了？
这些字母，这些数字，总感觉有些地方和前面的，类似。
？？？
在来监考许衡之前，前三位的考官，特别强调，在看许衡答题的时候，一定要注意那个（2），同时，还有那五个汉字：“第二种解法”。
可是他们都盯着许衡的试卷看，并未出现（2）和“第二种解法”。
真是奇了怪……
难道许衡自己没注意？
自己被自己的解题思路，套进去了？
三位考官，面面相觑。
可就在他们疑惑之际，许衡停下，然后在“若f（n）|f（kn）”的前面，画括号，然后……
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第215章
……
若f（yn）≤f（xm），则只能有f（d）=f（yn），由于f（d）≤f（n）≤f（yn），故f（n）=f（d）≤f（m），所以只能有f（n）=f（m），结论成立。
若f（yn）＞f（xm），则f（d）=f（xm），故f（m）=f（d），由于f（d）|f（n），故f（m）|f（n）。
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